4.4 积分估值与积分不等式
4 一元函数积分学 · 共 44 题
第1题证明题
1．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(x) \geqslant 0$ 且不恒为 0 ．证明： $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x>0$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x) \geq 0$ ，如果 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ 。
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，如果 $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle \forall x \in[a, b], f(x) \leqslant g(x)$ 且存在 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)<g\left(x_{0}\right)$ ．证明： $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x<\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(x) \leqslant g(x)$ ，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ ．证明：$\displaystyle f(x) \equiv g(x)$ ， $\displaystyle x \in[a, b]$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(x) \geqslant 0$ 且不恒为 0 ．证明： $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x>0$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(x) \geq 0$ ，如果 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ 。
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，如果 $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle \forall x \in[a, b], f(x) \leqslant g(x)$ 且存在 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)<g\left(x_{0}\right)$ ．证明： $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x<\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(x) \leqslant g(x)$ ，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ ．证明：$\displaystyle f(x) \equiv g(x)$ ， $\displaystyle x \in[a, b]$ ．
武汉大学 1996东北大学 1999扬州大学 2003湖北大学 2003湖南大学 2003中南大学 2004浙江师范大学 2005上海师范大学 2006
+11
第2题证明题
2．证明下列命题．
（1）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle R$ 上可积，且 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x>0$ ，则存在 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subset[a, b]$ 使 $\displaystyle f(x)>0, \forall x \in[\alpha, \beta]$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x<0$ ，证明：存在闭区间 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subset[a, b]$ 使得当 $\displaystyle x \in[\alpha, \beta]$ 时，$\displaystyle f(x)<0$ ．
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，对任意 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subset[a, b]$ 有 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ ．
（4）若 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，对任意 $\displaystyle (\alpha, \beta) \subset(a, b)$ 有 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x=\int_{\alpha}^{\beta} g(x) \mathrm{d} x$ ，则 $\displaystyle f(x) \equiv g(x), x \in(a, b)$.
（5）若 $\displaystyle f(x) \geqslant 0$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，证明 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ 的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 在连续点处有 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（1）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle R$ 上可积，且 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x>0$ ，则存在 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subset[a, b]$ 使 $\displaystyle f(x)>0, \forall x \in[\alpha, \beta]$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x<0$ ，证明：存在闭区间 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subset[a, b]$ 使得当 $\displaystyle x \in[\alpha, \beta]$ 时，$\displaystyle f(x)<0$ ．
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，对任意 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subset[a, b]$ 有 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ ．
（4）若 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，对任意 $\displaystyle (\alpha, \beta) \subset(a, b)$ 有 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x=\int_{\alpha}^{\beta} g(x) \mathrm{d} x$ ，则 $\displaystyle f(x) \equiv g(x), x \in(a, b)$.
（5）若 $\displaystyle f(x) \geqslant 0$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，证明 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ 的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 在连续点处有 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
北师大 1996大连理工大学 2000大连理工大学 2001华南理工大学 2002厦门大学 2004浙江大学 2004华东师范大学 2006湖北大学 2006
+5
第3题证明题
3．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，且对在 $\displaystyle (a, b)$ 的任意可积函数 $\displaystyle g(x)$ 有 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且对任意满足 $\displaystyle \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x=0$ 的连续函数 $\displaystyle g(x)$ 有 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 恒等于常数．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且对于所有那些在 $\displaystyle [a, b]$ 上满足附加条件 $\displaystyle g(a)=g(b)=0$ 的连续函数 $\displaystyle g(x)$ 有 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，且对在 $\displaystyle (a, b)$ 的任意可积函数 $\displaystyle g(x)$ 有 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且对任意满足 $\displaystyle \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x=0$ 的连续函数 $\displaystyle g(x)$ 有 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 恒等于常数．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且对于所有那些在 $\displaystyle [a, b]$ 上满足附加条件 $\displaystyle g(a)=g(b)=0$ 的连续函数 $\displaystyle g(x)$ 有 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ ．
北京理工大学 2001上海大学 2004河北工业大学 2006深圳大学 2006山东师范大学 2012
第4题证明题
4．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [-1,1]$ 上的连续函数，且满足条件：对 $\displaystyle [-1,1]$ 上任意连续的偶函数 $\displaystyle g(x)$ ，都有 $\displaystyle \int_{-1}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：$\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [-1,1]$ 上的奇函数。
武汉科技大学 2005西北师范大学 2007
第5题证明题
5．证明下列命题．
（1）证明：当 $\displaystyle x>0$ 时有不等式 $\displaystyle \left|\int_{x}^{x+c} \sin t^{2} \mathrm{~d} t\right| \leqslant \frac{1}{x},(c>0)$ 。．
（2）证明：$\displaystyle \left|\int_{a}^{+\infty} \sin x^{2} \mathrm{~d} x\right| \leqslant \frac{1}{a}, a \geqslant 1$ ．
（3）证明：当 $\displaystyle x>0$ 时有不等式 $\displaystyle \left|\int_{x}^{x+c} \sin y^{2} \mathrm{~d} y\right|<\frac{1}{x}$ ．（四川师大 2012，湖南师大 2012（ $\displaystyle \mathrm{c}=2012$ ））
（4）设 $\displaystyle f(x)=\int_{x}^{x+1} \sin \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t$ ．证明：$\displaystyle \left|\mathrm{e}^{x} f(x)\right| \leqslant 2$ ．
（5）证明：$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x}\left(t-t^{2}\right) \sin ^{2 n} t \mathrm{~d} t$（ $\displaystyle n$ 为正整数）在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的最大值不超过 $\displaystyle \frac{1}{(2 n+2)(2 n+3)}$ ．
（1）证明：当 $\displaystyle x>0$ 时有不等式 $\displaystyle \left|\int_{x}^{x+c} \sin t^{2} \mathrm{~d} t\right| \leqslant \frac{1}{x},(c>0)$ 。．
（2）证明：$\displaystyle \left|\int_{a}^{+\infty} \sin x^{2} \mathrm{~d} x\right| \leqslant \frac{1}{a}, a \geqslant 1$ ．
（3）证明：当 $\displaystyle x>0$ 时有不等式 $\displaystyle \left|\int_{x}^{x+c} \sin y^{2} \mathrm{~d} y\right|<\frac{1}{x}$ ．（四川师大 2012，湖南师大 2012（ $\displaystyle \mathrm{c}=2012$ ））
（4）设 $\displaystyle f(x)=\int_{x}^{x+1} \sin \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t$ ．证明：$\displaystyle \left|\mathrm{e}^{x} f(x)\right| \leqslant 2$ ．
（5）证明：$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x}\left(t-t^{2}\right) \sin ^{2 n} t \mathrm{~d} t$（ $\displaystyle n$ 为正整数）在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的最大值不超过 $\displaystyle \frac{1}{(2 n+2)(2 n+3)}$ ．
电子科技大学 2003广西大学 2004太原科技大学 2009苏州大学 2011华中师范大学 2012苏州大学 2014
第6题证明题
6．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且满足 $\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t \geqslant \int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t, x \in[a, b)$ ．
（1）问：对任意 $\displaystyle x \in[a, b)$ 是否都成立 $\displaystyle f(x) \geqslant g(x)$ ？请证明或举例说明你的结论；
（2）若还满足 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{b} g(t) \mathrm{d} t$ ，试证： $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} x g(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle g_{1}(x)$ 和 $\displaystyle g_{2}(x)$ 满足 $\displaystyle \int_{a}^{x} g_{1}(t) \mathrm{d} t \leqslant \int_{a}^{x} g_{2}(t) \mathrm{d} t, a \leqslant x<b, \int_{a}^{b} g_{1}(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{b} g_{2}(t) \mathrm{d} t$ 。又设 $\displaystyle f(x)$可微，非增，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g_{1}(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} f(x) g_{2}(x) \mathrm{d} x$ 。
（3）证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\cos x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x \geqslant \int_{0}^{1} \frac{\sin x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（4）求证： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x \leqslant \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且满足 $\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t \geqslant \int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t, x \in[a, b)$ ．
（1）问：对任意 $\displaystyle x \in[a, b)$ 是否都成立 $\displaystyle f(x) \geqslant g(x)$ ？请证明或举例说明你的结论；
（2）若还满足 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{b} g(t) \mathrm{d} t$ ，试证： $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} x g(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle g_{1}(x)$ 和 $\displaystyle g_{2}(x)$ 满足 $\displaystyle \int_{a}^{x} g_{1}(t) \mathrm{d} t \leqslant \int_{a}^{x} g_{2}(t) \mathrm{d} t, a \leqslant x<b, \int_{a}^{b} g_{1}(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{b} g_{2}(t) \mathrm{d} t$ 。又设 $\displaystyle f(x)$可微，非增，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g_{1}(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} f(x) g_{2}(x) \mathrm{d} x$ 。
（3）证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\cos x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x \geqslant \int_{0}^{1} \frac{\sin x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（4）求证： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x \leqslant \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
中南大学 2004河北大学 2005福建师范大学 2006南京航空航天大学 2010扬州大学 2010
第7题证明题
7．证明下列不等式．
（1）当 $\displaystyle x>0$ 时，$\displaystyle x-\frac{x^{3}}{6}<\sin x<x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}$ ．
（2）$\displaystyle \frac{\pi}{2}-\frac{\pi^{3}}{144}<\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x<\frac{\pi}{2}-\frac{\pi^{2}}{72}$ ．
（1）当 $\displaystyle x>0$ 时，$\displaystyle x-\frac{x^{3}}{6}<\sin x<x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}$ ．
（2）$\displaystyle \frac{\pi}{2}-\frac{\pi^{3}}{144}<\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x<\frac{\pi}{2}-\frac{\pi^{2}}{72}$ ．
河南师范大学 2013
第8题证明题
8．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且 $\displaystyle \forall x \in[0,1]$ 有 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ ．证明：对任何正整数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle \left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right)-\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{n}$ 。西北师大 2005 ，首都师大 2000 ，西南大学 2007 ，华中师大，南开大学）
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可微，$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ ．证明：对任何正整数 $\displaystyle n$ 有
$$
\left|\frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(a+\frac{b-a}{n} i\right)-\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{n}(b-a)^{2} \text {. }
$$
（3）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，对任意 $\displaystyle x, y$ 都有 $\displaystyle |f(x)-f(y)| \leqslant M|x-y|$ ．证明：
$$
\left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)\right| \leqslant \frac{M}{2 n} .
$$
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微， $\displaystyle \sup _{0<x<1}\left|f^{\prime}(x)\right|<M<+\infty$ ．若 $\displaystyle n>1$ 为正整数，证明：
$$
\left|\sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{n} f\left(\frac{i}{n}\right)-\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{2 n} . \text { }
$$
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调减少，对任何正整数 $\displaystyle n$ ，试证明下列不等式：
$$
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \leqslant \frac{f(0)-f(1)}{n},
$$
并说明该不等式的几何意义．
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，$\displaystyle f(0)=f(1), \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，且对 $\displaystyle \forall x \in[0,1]$ 有 $\displaystyle f^{\prime}(x) \neq 1$ ，记 $\displaystyle g(x)=f(x)-x, n \geqslant 2$ 为正整数．求证：（1）$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 严格单调递减；（2）$\displaystyle -\frac{n}{2}<\sum_{k=0}^{n-1} g\left(\frac{k}{n}\right)<-\frac{n}{2}+1$ ； （3）$\displaystyle \left|\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)\right|<\frac{1}{2}$ 。．
（7）若对任意自然数 $\displaystyle m$ ，当 $\displaystyle x \geqslant m$ 时，$\displaystyle f(x)$ 是一非负单增函数，则对任意 $\displaystyle \xi \geqslant m$ 都有 $\displaystyle \left|\sum_{k=m}^{[\xi]} f(k)-\int_{m}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant f(\xi)$ ，［ $\displaystyle \xi$ ］为不超过 $\displaystyle \xi$ 的最大整数．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且 $\displaystyle \forall x \in[0,1]$ 有 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ ．证明：对任何正整数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle \left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right)-\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{n}$ 。西北师大 2005 ，首都师大 2000 ，西南大学 2007 ，华中师大，南开大学）
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可微，$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ ．证明：对任何正整数 $\displaystyle n$ 有
$$
\left|\frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(a+\frac{b-a}{n} i\right)-\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{n}(b-a)^{2} \text {. }
$$
（3）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，对任意 $\displaystyle x, y$ 都有 $\displaystyle |f(x)-f(y)| \leqslant M|x-y|$ ．证明：
$$
\left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)\right| \leqslant \frac{M}{2 n} .
$$
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微， $\displaystyle \sup _{0<x<1}\left|f^{\prime}(x)\right|<M<+\infty$ ．若 $\displaystyle n>1$ 为正整数，证明：
$$
\left|\sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{n} f\left(\frac{i}{n}\right)-\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{2 n} . \text { }
$$
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调减少，对任何正整数 $\displaystyle n$ ，试证明下列不等式：
$$
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \leqslant \frac{f(0)-f(1)}{n},
$$
并说明该不等式的几何意义．
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，$\displaystyle f(0)=f(1), \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，且对 $\displaystyle \forall x \in[0,1]$ 有 $\displaystyle f^{\prime}(x) \neq 1$ ，记 $\displaystyle g(x)=f(x)-x, n \geqslant 2$ 为正整数．求证：（1）$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 严格单调递减；（2）$\displaystyle -\frac{n}{2}<\sum_{k=0}^{n-1} g\left(\frac{k}{n}\right)<-\frac{n}{2}+1$ ； （3）$\displaystyle \left|\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)\right|<\frac{1}{2}$ 。．
（7）若对任意自然数 $\displaystyle m$ ，当 $\displaystyle x \geqslant m$ 时，$\displaystyle f(x)$ 是一非负单增函数，则对任意 $\displaystyle \xi \geqslant m$ 都有 $\displaystyle \left|\sum_{k=m}^{[\xi]} f(k)-\int_{m}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant f(\xi)$ ，［ $\displaystyle \xi$ ］为不超过 $\displaystyle \xi$ 的最大整数．
南京师范大学 2004哈尔滨师大 2008西北大学 2009湖南师范大学 2013
第9题证明题
9．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上连续，且 $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{2} x f(x) \mathrm{d} x=a>0$ ．证明 $\displaystyle \exists \xi \in[0,2]$ 使 $\displaystyle |f(\xi)| \geqslant a$.
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，且
$$
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=0, \cdots, \int_{0}^{1} x^{n-1} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=1, n>1
$$
求证在 $\displaystyle [0,1]$ 的某一部分上有 $\displaystyle |f(x)| \geqslant 2^{n}(n+1)$ ．（吉林犬学）
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=1$ 。证明 $\displaystyle \exists x_{0} \in[0,1]$ 使得 $\displaystyle \left|f\left(x_{0}\right)\right|>4$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x^{2} f(x) \mathrm{d} x=1$ ．证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in[0,1]$ 使得 $\displaystyle \left|f\left(x_{0}\right)\right| \geqslant 12$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上连续，且 $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{2} x f(x) \mathrm{d} x=a>0$ ．证明 $\displaystyle \exists \xi \in[0,2]$ 使 $\displaystyle |f(\xi)| \geqslant a$.
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，且
$$
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=0, \cdots, \int_{0}^{1} x^{n-1} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=1, n>1
$$
求证在 $\displaystyle [0,1]$ 的某一部分上有 $\displaystyle |f(x)| \geqslant 2^{n}(n+1)$ ．（吉林犬学）
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=1$ 。证明 $\displaystyle \exists x_{0} \in[0,1]$ 使得 $\displaystyle \left|f\left(x_{0}\right)\right|>4$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x^{2} f(x) \mathrm{d} x=1$ ．证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in[0,1]$ 使得 $\displaystyle \left|f\left(x_{0}\right)\right| \geqslant 12$ ．
重庆大学 2002南京财经大学 2009厦门大学 2013
第10题证明题
10．设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，且 $\displaystyle \forall x_{1}, x_{2} \in[a, b]$ 有 $\displaystyle \left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leqslant\left|x_{1}-x_{2}\right|$ ．证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内连续；
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-(b-a) f(a)\right| \leqslant \frac{1}{2}(b-a)^{2}$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-(b-a) f(a)\right| \leqslant \frac{1}{2}(b-a)^{2}$ ．
第11题未分类
11．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, \dot{b}]$ 上二次可微，$\displaystyle M=\max _{[a, b]}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$ ．
（1）若 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$ ，则 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{(b-a)^{3}}{24} M$ ；
（2）若 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right) \neq 0$ ，则 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-f\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a)\right| \leqslant \frac{(b-a)^{3}}{24} M$ ．
（西安电子科技 2006，深圳大学 2010，北京科技 2011，东北师大 2001，华中师大 2001，扬州大学 2007，武汉理工 2008，中山大学 2012，大连海事 2005，聊城大学 2003；燕山大学 2011（［0，1］）；首都师大 $\displaystyle 2006([-x, x])$ ，浙江师大 2009（ $\displaystyle [-1,1]$ ）；西南大学 2011（ $\displaystyle [a, b]=[0,2]$ ），辽宁大学 2003）
（1）若 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$ ，则 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{(b-a)^{3}}{24} M$ ；
（2）若 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right) \neq 0$ ，则 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-f\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a)\right| \leqslant \frac{(b-a)^{3}}{24} M$ ．
（西安电子科技 2006，深圳大学 2010，北京科技 2011，东北师大 2001，华中师大 2001，扬州大学 2007，武汉理工 2008，中山大学 2012，大连海事 2005，聊城大学 2003；燕山大学 2011（［0，1］）；首都师大 $\displaystyle 2006([-x, x])$ ，浙江师大 2009（ $\displaystyle [-1,1]$ ）；西南大学 2011（ $\displaystyle [a, b]=[0,2]$ ），辽宁大学 2003）
东北师范大学 2001华中师范大学 2001聊城大学 2003辽宁大学 2003大连海事大学 2005西安电子科技大学 2006扬州大学 2007武汉理工大学 2008
+6
第12题求解题
12．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0,\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ 。求证 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{4} M$ ．
南开大学 2003厦门大学 2013
第13题证明题
13．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ．证明： $\displaystyle \max _{a<x<b}\left|f^{\prime}(x)\right| \geqslant \frac{4}{(b-a)^{2}} \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x$ ． （四川大学 2008，西安电子科技 2008，太原科技 2005，河南师大 2008，北京工大 2002，大连海事 1999，浙江理工 2007；广西师大 2009
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 内有连续的导数，$\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ．试证明 $\displaystyle \left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{1}{4} \max _{0<x<1}\left|f^{\prime}(x)\right|$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导且非常数函数，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ．试证明：在 $\displaystyle [a, b]$ 中至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使得 $\displaystyle \left|f^{\prime}(\xi)\right|>\frac{4}{(b-a)^{2}} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（4）在 $\displaystyle [0,2]$ 上是否存在这样的连续可微函数 $\displaystyle f(x)$ 使得 $\displaystyle f(0)=f(2)=1,\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 1$ ，且 $\displaystyle \left|\int_{0}^{2} f(x) d x\right| \leqslant 1$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上两阶可导，$\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=f^{\prime}(a)=0, f(a)=1$ ，并且对 $\displaystyle \forall x \in[0, a]$ 有 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 1$ ．设 $\displaystyle g(x)=\left\{\begin{array}{l}x, 0 \leqslant x \leqslant \frac{a}{2}, \\ a-x, \frac{a}{2}<x \leqslant a,\end{array}\right.$ 求证：（1）$\displaystyle f^{\prime}(x) \leqslant g(x)$ ；（2）求证存在 $\displaystyle x_{0} \in(0, a)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(x_{0}\right)<g\left(x_{0}\right)$ ；（3）求证 $\displaystyle a>2$ ．
（6）设 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上连续可微，$\displaystyle f(0)=0$ ．求证 $\displaystyle \left|\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{2} a^{2}$ ，其中 $\displaystyle M=\max _{[0, a]}\left|f^{\prime}(x)\right|$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ．证明： $\displaystyle \max _{a<x<b}\left|f^{\prime}(x)\right| \geqslant \frac{4}{(b-a)^{2}} \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x$ ． （四川大学 2008，西安电子科技 2008，太原科技 2005，河南师大 2008，北京工大 2002，大连海事 1999，浙江理工 2007；广西师大 2009
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 内有连续的导数，$\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ．试证明 $\displaystyle \left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{1}{4} \max _{0<x<1}\left|f^{\prime}(x)\right|$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导且非常数函数，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ．试证明：在 $\displaystyle [a, b]$ 中至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使得 $\displaystyle \left|f^{\prime}(\xi)\right|>\frac{4}{(b-a)^{2}} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（4）在 $\displaystyle [0,2]$ 上是否存在这样的连续可微函数 $\displaystyle f(x)$ 使得 $\displaystyle f(0)=f(2)=1,\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 1$ ，且 $\displaystyle \left|\int_{0}^{2} f(x) d x\right| \leqslant 1$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上两阶可导，$\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=f^{\prime}(a)=0, f(a)=1$ ，并且对 $\displaystyle \forall x \in[0, a]$ 有 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 1$ ．设 $\displaystyle g(x)=\left\{\begin{array}{l}x, 0 \leqslant x \leqslant \frac{a}{2}, \\ a-x, \frac{a}{2}<x \leqslant a,\end{array}\right.$ 求证：（1）$\displaystyle f^{\prime}(x) \leqslant g(x)$ ；（2）求证存在 $\displaystyle x_{0} \in(0, a)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(x_{0}\right)<g\left(x_{0}\right)$ ；（3）求证 $\displaystyle a>2$ ．
（6）设 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上连续可微，$\displaystyle f(0)=0$ ．求证 $\displaystyle \left|\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{2} a^{2}$ ，其中 $\displaystyle M=\max _{[0, a]}\left|f^{\prime}(x)\right|$ ．
华东师范大学 2003华中师范大学 2005南开大学 2005中南大学 2007中山大学 2008山东师范大学 2009产西民族大学 2010扬州大学 2011
第14题证明题
14．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上具有二阶连续导数，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ，求证：
$$
\left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{(b-a)^{3}}{12} \max _{[a, b]}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| . \text { }
$$
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内有二阶连续导数，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ，试证明：（1）对 $\displaystyle [a, b]$ 内的任意 $\displaystyle x$ ， $\displaystyle \left|\frac{f(x)}{(x-b)(x-a)}\right| \leqslant \frac{1}{b-\dot{a}} \int_{a}^{b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ；（2）$\displaystyle \frac{4}{b-a} \max _{a<x<b}|f(x)| \leqslant \int_{a}^{b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有连续的二阶导数，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, f(x) \neq 0(x \in(0,1))$ ．试证明：若积分 $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| \mathrm{d} x$ 存在，则 $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| \mathrm{d} x \geqslant 4$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上具有二阶连续导数，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ，求证：
$$
\left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{(b-a)^{3}}{12} \max _{[a, b]}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| . \text { }
$$
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内有二阶连续导数，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ，试证明：（1）对 $\displaystyle [a, b]$ 内的任意 $\displaystyle x$ ， $\displaystyle \left|\frac{f(x)}{(x-b)(x-a)}\right| \leqslant \frac{1}{b-\dot{a}} \int_{a}^{b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ；（2）$\displaystyle \frac{4}{b-a} \max _{a<x<b}|f(x)| \leqslant \int_{a}^{b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有连续的二阶导数，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, f(x) \neq 0(x \in(0,1))$ ．试证明：若积分 $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| \mathrm{d} x$ 存在，则 $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| \mathrm{d} x \geqslant 4$ ．
四川大学 1981四川大学 2001延安大学 2001北京科技大学 2005四川大学 2007
第15题证明题
15．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且当 $\displaystyle x \in(0,1)$ 时， $\displaystyle 0<f^{\prime}(x)<1, f(0)=0$ 。证 $\displaystyle \left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}>\int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导，$\displaystyle f(a)=0, f^{\prime}(x) \geqslant 1$ ．证明
$$
\int_{a}^{b}(f(x))^{3} \mathrm{~d} x \geqslant\left(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \text {. }
$$
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续， $\displaystyle 0 \leqslant f(x) \leqslant x$ 。试证： $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2} f(x) \mathrm{d} x \geqslant\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}$ ，并求等号成立时所有的 $\displaystyle f(x)$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且当 $\displaystyle x \in(0,1)$ 时， $\displaystyle 0<f^{\prime}(x)<1, f(0)=0$ 。证 $\displaystyle \left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}>\int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导，$\displaystyle f(a)=0, f^{\prime}(x) \geqslant 1$ ．证明
$$
\int_{a}^{b}(f(x))^{3} \mathrm{~d} x \geqslant\left(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \text {. }
$$
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续， $\displaystyle 0 \leqslant f(x) \leqslant x$ 。试证： $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2} f(x) \mathrm{d} x \geqslant\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}$ ，并求等号成立时所有的 $\displaystyle f(x)$ ．
南京大学 2001延安大学 2001上海大学 2003四川大学 2004西北师范大学 2004青岛科技大学 2004扬州大学 2005重庆大学 2005
+11
第16题证明题
16．证明下列命题．
（1）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调不增．证明对任何 $\displaystyle \alpha \in(0,1), \int_{0}^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \alpha \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续且单调减少，$\displaystyle f(x)>0$ ．求证对于任意的 $\displaystyle 0<\alpha<\beta<1$ 有 $\displaystyle \beta \int_{0}^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x>\alpha \int_{a}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，单调递减，$\displaystyle f(x) \geqslant 0, F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．求证
$$
x F(1) \leqslant F(x) \leqslant 2 \int_{0}^{1} F(x) \mathrm{d} x . \text { }
$$
（1）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调不增．证明对任何 $\displaystyle \alpha \in(0,1), \int_{0}^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \alpha \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续且单调减少，$\displaystyle f(x)>0$ ．求证对于任意的 $\displaystyle 0<\alpha<\beta<1$ 有 $\displaystyle \beta \int_{0}^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x>\alpha \int_{a}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，单调递减，$\displaystyle f(x) \geqslant 0, F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．求证
$$
x F(1) \leqslant F(x) \leqslant 2 \int_{0}^{1} F(x) \mathrm{d} x . \text { }
$$
南京师范大学 2000西南大学 2002西安电子科技大学 2005西南交大 2006西安建筑科技 2006郑州大学 2006天津大学 2007北京航空航天大学 2008
+2
第17题证明题
17．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续且单调减少（增加），证明
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x \leqslant(b-a) \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续递增函数，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x \geqslant \frac{a+b}{2} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续且单调减少（增加），证明
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x \leqslant(b-a) \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续递增函数，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x \geqslant \frac{a+b}{2} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．
上海交大 2000东北大学 2000东北师范大学 2000北京工业大学 2002北京师范大学 2004南昌大学 2004聊城大学 2004西南交大 2004
+8
第18题证明题
18．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调增加，$\displaystyle f(x) \neq 0$ ．证明 $\displaystyle \frac{\int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x}{\int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x} \leqslant \frac{\int_{0}^{1} x f^{3}(x) \mathrm{d} x}{\int_{0}^{1} x f^{2}(x) \mathrm{d} x}$ ．
（2）设 $\displaystyle p(x), f(x), g(x)$ 是区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，$\displaystyle f(x), g(x)$ 单调增加，$\displaystyle p(x)>0$ 。试证明：
$\displaystyle \int_{a}^{b} p(x) f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} p(x) g(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} p(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} p(x) f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 。南京农大2009，南京大学1992）
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调增加，$\displaystyle f(x) \neq 0$ ．证明 $\displaystyle \frac{\int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x}{\int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x} \leqslant \frac{\int_{0}^{1} x f^{3}(x) \mathrm{d} x}{\int_{0}^{1} x f^{2}(x) \mathrm{d} x}$ ．
（2）设 $\displaystyle p(x), f(x), g(x)$ 是区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，$\displaystyle f(x), g(x)$ 单调增加，$\displaystyle p(x)>0$ 。试证明：
$\displaystyle \int_{a}^{b} p(x) f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} p(x) g(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} p(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} p(x) f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 。南京农大2009，南京大学1992）
中国地质大学 2005广西大学 2009
第19题证明题
19．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，且存在 $\displaystyle x_{0} \in(0,1)$ 使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=0$ ，求证： $\displaystyle \int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x \leqslant \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上变号，且为连续函数，求证： $\displaystyle \min _{[0,1]} f(x) \geqslant-\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶连续可微，且在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在极值，求证： $\displaystyle \max _{[0,1]}\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 存在连续的二阶导数．证明： $\displaystyle \max _{[0,1]}\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant|f(1)-f(0)|+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，且存在 $\displaystyle x_{0} \in(0,1)$ 使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=0$ ，求证： $\displaystyle \int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x \leqslant \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上变号，且为连续函数，求证： $\displaystyle \min _{[0,1]} f(x) \geqslant-\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶连续可微，且在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在极值，求证： $\displaystyle \max _{[0,1]}\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 存在连续的二阶导数．证明： $\displaystyle \max _{[0,1]}\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant|f(1)-f(0)|+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．
华中科技 2002武汉大学 2005广西师范大学 2006华中科技 2012
第20题证明题
20．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, T]$ 二阶连续可导，$\displaystyle M=\max _{[0, T]} f(x), m=\min _{[0, T]} f(x)$ ．证明：
$$
M-m \leqslant T \int_{0}^{T}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x . \text {. }
$$
$$
M-m \leqslant T \int_{0}^{T}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x . \text {. }
$$
苏州大学 2010
第21题证明题
21．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可导，证明： $\displaystyle \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x \leqslant \max \left\{(b-a) \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x,\left|\int_{a}^{b}\right| f(x)|\mathrm{d} x|\right\}$ ． （四川大学 2009，南京农大 2008，扬州大学 $\displaystyle 2010([a, b]=[0,1])$
南京农业大学 2008四川大学 2009
第22题证明题
22．证明下列命题．
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续，$\displaystyle |f(x)| \leqslant M$ ，又存在 $\displaystyle c \in(0,1)$ 使 $\displaystyle \int_{-c}^{c} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．求证：
$$
\left|\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant 2 M(1-c) .
$$
（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有连续的导数，$\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ．求证：（1）$\displaystyle \forall x \in[0,1],\left|f(x)-f^{\prime}(x)\right| \geqslant\left(\mathrm{e}^{-x} f(x)\right)^{\prime}$ ；
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)-f(x)\right| \mathrm{d} x \geqslant \frac{1}{\mathrm{e}}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有界且连续可微，满足 $\displaystyle f(x)+f^{\prime}(x) \leqslant 1, x \in \mathbf{R}$ ．试证：$\displaystyle |f(x)| \leqslant 1$ ．
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续，$\displaystyle |f(x)| \leqslant M$ ，又存在 $\displaystyle c \in(0,1)$ 使 $\displaystyle \int_{-c}^{c} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．求证：
$$
\left|\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant 2 M(1-c) .
$$
（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有连续的导数，$\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ．求证：（1）$\displaystyle \forall x \in[0,1],\left|f(x)-f^{\prime}(x)\right| \geqslant\left(\mathrm{e}^{-x} f(x)\right)^{\prime}$ ；
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)-f(x)\right| \mathrm{d} x \geqslant \frac{1}{\mathrm{e}}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有界且连续可微，满足 $\displaystyle f(x)+f^{\prime}(x) \leqslant 1, x \in \mathbf{R}$ ．试证：$\displaystyle |f(x)| \leqslant 1$ ．
北京师范大学 1999南京农业大学 2005北京科技大学 2013
第23题证明题
23．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上单调下降，且 $\displaystyle f^{\prime}(b)>0$ ，证明
$$
\left|\int_{a}^{b} \cos f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{2}{f^{\prime}(b)} . }
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，$\displaystyle |f(x)| \leqslant \pi$ ，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant m>0$ ，证明：$\displaystyle \left|\int_{a}^{b} \sin f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{2}{m}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上单调下降，且 $\displaystyle f^{\prime}(b)>0$ ，证明
$$
\left|\int_{a}^{b} \cos f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{2}{f^{\prime}(b)} . }
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，$\displaystyle |f(x)| \leqslant \pi$ ，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant m>0$ ，证明：$\displaystyle \left|\int_{a}^{b} \sin f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{2}{m}$ ．
北京科技大学 2014
第24题证明题
24．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上单调递减函数，证明：对任何正整数 $\displaystyle n$ ，恒有 $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x \geqslant 0$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上导函数连续，$\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant 0$ ．求证：对任意自然数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle \left|\int_{0}^{2 \pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x\right| \leqslant \frac{2}{n}(f(2 \pi)-f(0))$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上单调递减函数，证明：对任何正整数 $\displaystyle n$ ，恒有 $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x \geqslant 0$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上导函数连续，$\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant 0$ ．求证：对任意自然数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle \left|\int_{0}^{2 \pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x\right| \leqslant \frac{2}{n}(f(2 \pi)-f(0))$ ．
南京航空航天大学 2008湖北大学 2008青岛理工 2008山东大学 2012杭州师大 2014
第25题证明题
25．设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上具有连续的导数，证明：
（1） $\displaystyle \max _{a<x<b}|f(x)| \leqslant\left|\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right|+\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ；
（2）$\displaystyle |f(x)| \leqslant \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ；
（3）$\displaystyle \left|f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right| \leqslant \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．
（1） $\displaystyle \max _{a<x<b}|f(x)| \leqslant\left|\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right|+\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ；
（2）$\displaystyle |f(x)| \leqslant \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ；
（3）$\displaystyle \left|f\left(\frac{a+b}{2}\right)\right| \leqslant \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．
南京航空航天大学 2002北京师范大学 2007河海大学 2007东北师范大学 2011
第26题证明题
26．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a](a>0)$ 上连续可微．证明：$\displaystyle |f(0)| \leqslant \frac{1}{a} \int_{0}^{a}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{0}^{a}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．（四川师大 2013 ，上海大学 2003 ，华中师大 2000 ，沈阳工大 2007 ，山东师大 2008 ，郑州大学；东南大学 2001（ $\displaystyle a=$ 1），东北大学 2007／2003）
说明：这是 25 题的特殊情况。
说明：这是 25 题的特殊情况。
华中师范大学 2000东南大学 2001上海大学 2003东北大学 2007沈阳工业大学 2007山东师范大学 2008四川师范大学 2013
第27题证明题
27．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 存在连续的二阶导数。证明： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant 9 \int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．
（2）对 $\displaystyle \forall \xi \in\left[0, \frac{1}{3}\right], \forall \eta \in\left[\frac{2}{3}, 1\right]$ ，求 证：（1）$\displaystyle \forall x \in[0,1], \sin x \leqslant 3|\cos \xi-\cos \eta|+\int_{0}^{1} \cos x \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle \mathrm{e}^{x}(\sin x+\cos x) \leqslant 9 \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x+2 \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \cos x \mathrm{~d} x$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在连续的二阶导数，$\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right|<\int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x$ ．记 $\displaystyle M_{1}=\max _{x \in[a, b]}\left|f^{\prime}(x)\right|$ ， $\displaystyle M_{2}=\max _{x \in[a, b]}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$ ．证明：$\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M_{1}}{2}(b-a)^{2}+\frac{M_{2}}{3}(b-a)^{3}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 存在连续的二阶导数。证明： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant 9 \int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．
（2）对 $\displaystyle \forall \xi \in\left[0, \frac{1}{3}\right], \forall \eta \in\left[\frac{2}{3}, 1\right]$ ，求 证：（1）$\displaystyle \forall x \in[0,1], \sin x \leqslant 3|\cos \xi-\cos \eta|+\int_{0}^{1} \cos x \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle \mathrm{e}^{x}(\sin x+\cos x) \leqslant 9 \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x+2 \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \cos x \mathrm{~d} x$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在连续的二阶导数，$\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right|<\int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x$ ．记 $\displaystyle M_{1}=\max _{x \in[a, b]}\left|f^{\prime}(x)\right|$ ， $\displaystyle M_{2}=\max _{x \in[a, b]}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$ ．证明：$\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M_{1}}{2}(b-a)^{2}+\frac{M_{2}}{3}(b-a)^{3}$ ．
哈工大 2009华中科技 2010南开大学 2010华中科技 2011
第28题证明题
28．证明下列命题（Cauchy 不等式及 Schwarz 不等式）。
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积。证明 Schwarz 不等式
$\displaystyle \left(\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant \int_{a}^{b}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x \cdot \int_{a}^{b}(g(x))^{2} \mathrm{~d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续。证明 $\displaystyle \left(\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant \int_{a}^{b}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x \cdot \int_{a}^{b}(g(x))^{2} \mathrm{~d} x$.
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积。证明 Schwarz 不等式
$\displaystyle \left(\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant \int_{a}^{b}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x \cdot \int_{a}^{b}(g(x))^{2} \mathrm{~d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续。证明 $\displaystyle \left(\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant \int_{a}^{b}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x \cdot \int_{a}^{b}(g(x))^{2} \mathrm{~d} x$.
大连海事大学 2002河海大学 2002青岛大学 2002中南大学 2003湖北大学 2004湘潭大学 2004天津工业大学 2005重庆师大 2005
+9
第29题证明题
29．证明下列命题（Schwarz 不等式的应用）．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(x)>0$ ．证明 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x \geqslant(b-a)^{2}$ ．（扬州大学 2005，北京理工 2005，浙江师大 2005，山东大学 2000／2002，浙江理工 2009，计量学院 2009，青岛大学 2010，广西大学 2007，中科院 1999，哈工大，北京科技 $\displaystyle 2003([a, b]=[0,1])$ ，北京工大 $\displaystyle 2004([a, b]=[0,1])$ ，上海理工 $\displaystyle \left.2003\left(f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}\right)\right) \quad$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明 $\displaystyle \left(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant(b-a) \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 。
（3）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明 $\displaystyle \iint_{D} \frac{f(x)}{f(y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \geqslant(b-a)^{2}$ ，其中 $\displaystyle D=[a, b] \times[a, b]$ ．
（4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明 $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{f(x)-f(y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \geqslant(b-a)^{2}$ ，其中 $\displaystyle D=[a, b] \times[a, b]$ ．
（5）证明 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x \mathrm{e}^{\sin x} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{-\cos x} \mathrm{~d} x \geqslant \frac{\pi}{4}$ ．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(x)>0$ ．证明 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x \geqslant(b-a)^{2}$ ．（扬州大学 2005，北京理工 2005，浙江师大 2005，山东大学 2000／2002，浙江理工 2009，计量学院 2009，青岛大学 2010，广西大学 2007，中科院 1999，哈工大，北京科技 $\displaystyle 2003([a, b]=[0,1])$ ，北京工大 $\displaystyle 2004([a, b]=[0,1])$ ，上海理工 $\displaystyle \left.2003\left(f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}\right)\right) \quad$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明 $\displaystyle \left(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant(b-a) \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 。
（3）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明 $\displaystyle \iint_{D} \frac{f(x)}{f(y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \geqslant(b-a)^{2}$ ，其中 $\displaystyle D=[a, b] \times[a, b]$ ．
（4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明 $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{f(x)-f(y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \geqslant(b-a)^{2}$ ，其中 $\displaystyle D=[a, b] \times[a, b]$ ．
（5）证明 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x \mathrm{e}^{\sin x} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{-\cos x} \mathrm{~d} x \geqslant \frac{\pi}{4}$ ．
北京大学 2000陕西师范大学 2000扬州大学 2003西北大学 2003中北大学 2004江苏大学 2006河北工业大学 2006山东大学 2007
+6
第30题证明题
30．证明下列命题（Schwarz 不等式的应用）
（1）已知 $\displaystyle f(x) \geqslant 0$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续， $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=1, k$ 为任意实数．求证：
$$
\left(\int_{a}^{b} f(x) \cos k x \mathrm{~d} x\right)^{2}+\left(\int_{a}^{b} f(x) \sin k x \mathrm{~d} x\right)^{2} \leqslant 1 \text {. }
$$
（2）设 $\displaystyle f(x), g(x), h(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上连续， $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=1, g^{2}(x)+h^{2}(x)=1$ ．证明：
$$
\left(\int_{0}^{1} f^{2}(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2}+\left(\int_{0}^{1} f^{2}(x) h(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant 1 . \text { }
$$
（1）已知 $\displaystyle f(x) \geqslant 0$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续， $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=1, k$ 为任意实数．求证：
$$
\left(\int_{a}^{b} f(x) \cos k x \mathrm{~d} x\right)^{2}+\left(\int_{a}^{b} f(x) \sin k x \mathrm{~d} x\right)^{2} \leqslant 1 \text {. }
$$
（2）设 $\displaystyle f(x), g(x), h(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上连续， $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=1, g^{2}(x)+h^{2}(x)=1$ ．证明：
$$
\left(\int_{0}^{1} f^{2}(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2}+\left(\int_{0}^{1} f^{2}(x) h(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant 1 . \text { }
$$
西南大学 2003东北大学 2007北京理工大学 2007
第31题证明题
31．设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明：$\displaystyle \left(\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{t^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x\right)^{2} \leqslant \frac{\pi}{2 t} \int_{0}^{1} \frac{f^{2}(x)}{t^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x,(t>0)$ ．
北京科技大学 2009厦门大学 2011
第32题证明题
32．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=f(b)=0, f(x)$ 不恒为正．求证： $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x<0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上具有连续的导数，$\displaystyle f(a)=f(b)=0, \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=1$ 。证明：（1） $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=-\frac{1}{2}$ ；
（2） $\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x \int_{a}^{b} x^{2} f^{2}(x) \mathrm{d} x>\frac{1}{4}$ ；（3） $\displaystyle \int_{a}^{b} x^{2}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x>\frac{1}{4}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 有连续的导数，$\displaystyle f(0)=f(1)=0, \int_{0}^{1} x^{2} f^{2}(x) \mathrm{d} x=1$ ．证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{4}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x \geqslant \frac{9}{4}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=f(b)=0, f(x)$ 不恒为正．求证： $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x<0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上具有连续的导数，$\displaystyle f(a)=f(b)=0, \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=1$ 。证明：（1） $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=-\frac{1}{2}$ ；
（2） $\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x \int_{a}^{b} x^{2} f^{2}(x) \mathrm{d} x>\frac{1}{4}$ ；（3） $\displaystyle \int_{a}^{b} x^{2}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x>\frac{1}{4}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 有连续的导数，$\displaystyle f(0)=f(1)=0, \int_{0}^{1} x^{2} f^{2}(x) \mathrm{d} x=1$ ．证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{4}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x \geqslant \frac{9}{4}$ ．
北京交大 2000东北大学 2004三峡大学 2006大连理工大学 2009山东科技大学 2010
第33题证明题
33．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，并且导函数连续，证明：
$$
|f(x)| \leqslant|f(a)|+\sqrt{x-a} \sqrt{\int_{a}^{x}\left(f^{\prime}(t)\right)^{2} \mathrm{~d} t}, \forall x \in[a, b] \text {. }
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ ．求证：$\displaystyle \forall x_{0} \in(a, b), \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(t)\right|^{2} \mathrm{~d} t \geqslant \frac{f^{2}\left(x_{0}\right)}{x_{0}-a}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ 。证明： $\displaystyle \max _{x \in[a, b]}|f(x)| \leqslant \sqrt{b-a}\left(\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(t)\right|^{2} \mathrm{~d} t\right)^{\frac{1}{2}}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ 。求证： $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ 。中科院 2006，湘潭大学 2004 ，地质大学 2006 ，北航 $\displaystyle 2007 ;[a, b]=[0,1]$ ：上海大学 2002 ，南京财大 2012）
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ ．求证：$\displaystyle \exists M>0$ 使 $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant M \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 一阶连续可导，$\displaystyle f(a)=0$ ．证明：
$$
\int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x-\frac{1}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}(x-a)^{2} \mathrm{~d} x \text {. }
$$
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，并且导函数连续，证明：
$$
|f(x)| \leqslant|f(a)|+\sqrt{x-a} \sqrt{\int_{a}^{x}\left(f^{\prime}(t)\right)^{2} \mathrm{~d} t}, \forall x \in[a, b] \text {. }
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ ．求证：$\displaystyle \forall x_{0} \in(a, b), \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(t)\right|^{2} \mathrm{~d} t \geqslant \frac{f^{2}\left(x_{0}\right)}{x_{0}-a}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ 。证明： $\displaystyle \max _{x \in[a, b]}|f(x)| \leqslant \sqrt{b-a}\left(\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(t)\right|^{2} \mathrm{~d} t\right)^{\frac{1}{2}}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ 。求证： $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ 。中科院 2006，湘潭大学 2004 ，地质大学 2006 ，北航 $\displaystyle 2007 ;[a, b]=[0,1]$ ：上海大学 2002 ，南京财大 2012）
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ ．求证：$\displaystyle \exists M>0$ 使 $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant M \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 一阶连续可导，$\displaystyle f(a)=0$ ．证明：
$$
\int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x-\frac{1}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}(x-a)^{2} \mathrm{~d} x \text {. }
$$
南京理工大学 2001四川大学 2002扬州大学 2008阳工大 2008陕西师范大学 2008四川大学 2010河南师范大学 2011
第34题求解题
34．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，$\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ．求证：
（1）对任何 $\displaystyle x \in(0,1)$ 都有 $\displaystyle f^{2}(x) \leqslant \frac{1}{4} \int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ；
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x \leqslant \frac{1}{4} \int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x ;$
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \frac{1}{4} \int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ 。四川大学 2006，南京大学 2008，地质大学 2007，北航 2005）
（1）对任何 $\displaystyle x \in(0,1)$ 都有 $\displaystyle f^{2}(x) \leqslant \frac{1}{4} \int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ；
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x \leqslant \frac{1}{4} \int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x ;$
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \frac{1}{4} \int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ 。四川大学 2006，南京大学 2008，地质大学 2007，北航 2005）
北京航空航天大学 2005四川大学 2006中国地质大学 2007南京大学 2008
第35题证明题
35．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ 。求证： $\displaystyle \int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \frac{b-a}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ，且等号成立时有 $\displaystyle f(x)=c(x-a), \mathrm{c}$ 为某常数．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$ ．求证： $\displaystyle \int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \frac{b-a}{4} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(a)=0$ 。求证： $\displaystyle \int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \frac{b-a}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ，且等号成立时有 $\displaystyle f(x)=c(x-a), \mathrm{c}$ 为某常数．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$ ．求证： $\displaystyle \int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \frac{b-a}{4} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
北京师范大学 1999北京科技大学 2004南京农业大学 2004中国地质大学 2006山东理工 2008南京师范大学 2009南开大学 2011安徽大学 2011
第36题证明题
36．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可微，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 可积，$\displaystyle f(b)-f(a)=1$ 。求证： $\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x>\frac{1}{b-a}$ ．（西北工大 2007，山东科技 2005（［a，b］$\displaystyle =[0,1])$ ）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，$\displaystyle f(1)-f(0)=1$ ．求证： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x \geqslant 1$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，$\displaystyle |f(x)| \leqslant 1, \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t=0$ 。求证：$\displaystyle \forall a, b \in(0,1),\left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{1}{2}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(b)-f(a)=b-a$ ．求证： $\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x>b-a$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可微，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 可积，$\displaystyle f(b)-f(a)=1$ 。求证： $\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x>\frac{1}{b-a}$ ．（西北工大 2007，山东科技 2005（［a，b］$\displaystyle =[0,1])$ ）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，$\displaystyle f(1)-f(0)=1$ ．求证： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x \geqslant 1$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，$\displaystyle |f(x)| \leqslant 1, \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t=0$ 。求证：$\displaystyle \forall a, b \in(0,1),\left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{1}{2}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle f(b)-f(a)=b-a$ ．求证： $\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x>b-a$ ．
山东科技大学 2005北京科技大学 2007哈工大 2007山东大学 2011华南理工大学 2012
第37题未分类
37．若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上正值、连续，$\displaystyle m=\min _{[0,1]} f(x), M=\max _{[0,1]} f(x)$ ，则
$\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x \leqslant \frac{(m+M)}{4 m M}$ ．
$\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x \leqslant \frac{(m+M)}{4 m M}$ ．
苏州大学 2001广州大学 2008西北师范大学 2009
第38题证明题
38．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ 。证明：$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0, x \in[a, b]$ 。证明：
$$
f(x)<\frac{2}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x, x \in[a, b] . }
$$
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ．试证明：
$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{f(a)+f(b)}{2}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ．证明： $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x \geqslant 2 f(1)$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ 。证明：$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0, x \in[a, b]$ 。证明：
$$
f(x)<\frac{2}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x, x \in[a, b] . }
$$
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ．试证明：
$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{f(a)+f(b)}{2}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ．证明： $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x \geqslant 2 f(1)$ ．
延安大学 2000河海大学 2000延安大学 2003延安大学 2003华中师范大学 2005延安大学 2005上海交大 2006延安大学 2006
+12
第39题证明题
39．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ 。证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \geqslant f\left(\frac{1}{2}\right)$ ．（中科 大 2008）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ．证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} f\left(x^{\alpha}\right) \mathrm{d} x \geqslant f\left(\frac{1}{1+\alpha}\right)$ ，其中 $\displaystyle \alpha$ 为任意正数．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，且 $\displaystyle f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leqslant \frac{f(x)+f(y)}{2}, \forall x, y \in[0,1]$ ，证明 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \geqslant f\left(\frac{1}{2}\right)$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ 。证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \geqslant f\left(\frac{1}{2}\right)$ ．（中科 大 2008）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ．证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} f\left(x^{\alpha}\right) \mathrm{d} x \geqslant f\left(\frac{1}{1+\alpha}\right)$ ，其中 $\displaystyle \alpha$ 为任意正数．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，且 $\displaystyle f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leqslant \frac{f(x)+f(y)}{2}, \forall x, y \in[0,1]$ ，证明 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \geqslant f\left(\frac{1}{2}\right)$ ．
扬州大学 1999广西大学：：中科大 2007中国科学技术大学 2008南京财经大学 2008广西大学 2008广西大学：：中科大 2008扬州大学 2009广西大学：：中科大 2010
+3
第40题证明题
40．证明下列命题．
（1）若 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 连续，$\displaystyle f(x)$ 二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0, x \in(-\infty,+\infty)$ ，则
$\displaystyle \frac{1}{a} \int_{0}^{a} f(\varphi(t)) \mathrm{d} t \geqslant f\left(\frac{1}{a} \int_{0}^{a} \varphi(t) \mathrm{d} t\right)$ ．（山东师大 2011，西安理工 2011，天津大学 2007，地质大学 2003，厦门大学2010，东北师大 2000（区间为 $\displaystyle [a, b]$ ），郑州大学 2007（ $\displaystyle [0,1]$ ））
（2）设正值函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．试证：
$\displaystyle \mathrm{e}^{\int_{0}^{1} \ln f(x) \mathrm{d} x} \leqslant \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 或 $\displaystyle \ln \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_{0}^{1} \ln f(x) \mathrm{d} x$ 。
（3）若正值函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上连续，则 $\displaystyle a \mathrm{e}^{\frac{1}{a} \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x} \geqslant \int_{0}^{a} \mathrm{e}^{f(x)} \mathrm{d} x$ ．
（4）函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积， $\displaystyle \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x=1, g(x) \geqslant 0$ ，且 $\displaystyle \varphi^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ，证明：
$$
\varphi\left(\int_{a}^{b} g(x) f(x) \mathrm{d} x\right) \leqslant \int_{a}^{b} g(x) \varphi(f(x)) \mathrm{d} x . }
$$
（1）若 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 连续，$\displaystyle f(x)$ 二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0, x \in(-\infty,+\infty)$ ，则
$\displaystyle \frac{1}{a} \int_{0}^{a} f(\varphi(t)) \mathrm{d} t \geqslant f\left(\frac{1}{a} \int_{0}^{a} \varphi(t) \mathrm{d} t\right)$ ．（山东师大 2011，西安理工 2011，天津大学 2007，地质大学 2003，厦门大学2010，东北师大 2000（区间为 $\displaystyle [a, b]$ ），郑州大学 2007（ $\displaystyle [0,1]$ ））
（2）设正值函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．试证：
$\displaystyle \mathrm{e}^{\int_{0}^{1} \ln f(x) \mathrm{d} x} \leqslant \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 或 $\displaystyle \ln \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_{0}^{1} \ln f(x) \mathrm{d} x$ 。
（3）若正值函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上连续，则 $\displaystyle a \mathrm{e}^{\frac{1}{a} \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x} \geqslant \int_{0}^{a} \mathrm{e}^{f(x)} \mathrm{d} x$ ．
（4）函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积， $\displaystyle \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x=1, g(x) \geqslant 0$ ，且 $\displaystyle \varphi^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ，证明：
$$
\varphi\left(\int_{a}^{b} g(x) f(x) \mathrm{d} x\right) \leqslant \int_{a}^{b} g(x) \varphi(f(x)) \mathrm{d} x . }
$$
陕西师范大学 1997中北大学 2004福建师范大学 2005湖南师范大学 2007
第41题证明题
41．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle y=f(x)(x \geqslant 0)$ 是连续可导且严格增加函数，$\displaystyle f(0)=0, a, b>0$ ．证明：
$\displaystyle \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x+\int_{0}^{b} g(y) \mathrm{d} y \geqslant a b$ ，其中 $\displaystyle g(y)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的反函数，而等号当且仅当 $\displaystyle b=f(a)$ 成立．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上严格递增，且连续，$\displaystyle f(0)=0, g(f(x))=x$ ．求证：
$$
\int_{0}^{f(a)}(a-g(x)) \mathrm{d} x=\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续且严格递增，证明：
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=b f(b)-a f(a)-\int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$
（4）当 $\displaystyle \alpha \geqslant 1, \beta \geqslant 1$ 时有 $\displaystyle \alpha \beta \leqslant \mathrm{e}^{\alpha-1}+\beta \ln \beta$ ．
（1）设函数 $\displaystyle y=f(x)(x \geqslant 0)$ 是连续可导且严格增加函数，$\displaystyle f(0)=0, a, b>0$ ．证明：
$\displaystyle \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x+\int_{0}^{b} g(y) \mathrm{d} y \geqslant a b$ ，其中 $\displaystyle g(y)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的反函数，而等号当且仅当 $\displaystyle b=f(a)$ 成立．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上严格递增，且连续，$\displaystyle f(0)=0, g(f(x))=x$ ．求证：
$$
\int_{0}^{f(a)}(a-g(x)) \mathrm{d} x=\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续且严格递增，证明：
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=b f(b)-a f(a)-\int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$
（4）当 $\displaystyle \alpha \geqslant 1, \beta \geqslant 1$ 时有 $\displaystyle \alpha \beta \leqslant \mathrm{e}^{\alpha-1}+\beta \ln \beta$ ．
华东师范大学 2002华中师范大学 2002上海交大 2003电子科技大学 2004郑州大学 2004重庆大学 2004中北大学 2005天津工 2006
+1
第42题证明题
42．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle h(t)$ 是 $\displaystyle f(t)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上的一个原函数，$\displaystyle f(t) \leqslant h(t), t \in[a, b]$ ．试证：$\displaystyle f(t) \leqslant h(a) \mathrm{e}^{t-a}$ ， （ $\displaystyle a \leqslant t \leqslant b$ ）．
（2）设 $\displaystyle g(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续非负函数，$\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ ，且存在 $\displaystyle \delta>0, k>0$ 使得 $\displaystyle y(t)$ 满足 $\displaystyle y(x) \leqslant \delta+k \int_{x_{0}}^{x} y(t) \mathrm{d} t, x \in[a, b]$ 。试证：$\displaystyle y(x) \leqslant \delta \mathrm{e}^{k\left(x-x_{0}\right)}, x \in[a, b]$ 。
（3）设 $\displaystyle x_{0} \in(-\infty,+\infty), \varphi(x)$ 和 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left[x_{0}, x_{0}+h\right]$ 上连续，且存在 $\displaystyle M>0, K>0$ 使得
$$
|\varphi(x)| \leqslant M\left(1+K \int_{x_{0}}^{x}|\varphi(t) f(t)| \mathrm{d} t\right), x \in\left(x_{0}, x_{0}+h\right)
$$
（1）设 $\displaystyle h(t)$ 是 $\displaystyle f(t)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上的一个原函数，$\displaystyle f(t) \leqslant h(t), t \in[a, b]$ ．试证：$\displaystyle f(t) \leqslant h(a) \mathrm{e}^{t-a}$ ， （ $\displaystyle a \leqslant t \leqslant b$ ）．
（2）设 $\displaystyle g(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续非负函数，$\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ ，且存在 $\displaystyle \delta>0, k>0$ 使得 $\displaystyle y(t)$ 满足 $\displaystyle y(x) \leqslant \delta+k \int_{x_{0}}^{x} y(t) \mathrm{d} t, x \in[a, b]$ 。试证：$\displaystyle y(x) \leqslant \delta \mathrm{e}^{k\left(x-x_{0}\right)}, x \in[a, b]$ 。
（3）设 $\displaystyle x_{0} \in(-\infty,+\infty), \varphi(x)$ 和 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left[x_{0}, x_{0}+h\right]$ 上连续，且存在 $\displaystyle M>0, K>0$ 使得
$$
|\varphi(x)| \leqslant M\left(1+K \int_{x_{0}}^{x}|\varphi(t) f(t)| \mathrm{d} t\right), x \in\left(x_{0}, x_{0}+h\right)
$$
郑州大学 2005厦门大学 2008
第43题证明题
43．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [2,+\infty)$ 上可导，$\displaystyle f(x)>0$ ，且 $\displaystyle (x f(x))^{\prime} \leqslant-k f(x)$ ，其中 $\displaystyle k$ 为常数．证明 $\displaystyle f(x) \leqslant A x^{-(k+1)}$ ，其中 $\displaystyle A$ 为与 $\displaystyle x$ 无关的常数．
第44题证明题
44．设 $\displaystyle f(x):[0,1] \rightarrow[0,1]$ 二阶连续可导，$\displaystyle f(0)=f(1)=0, f^{\prime \prime}(x)<0, x \in[0,1]$ ．记曲线 $\displaystyle \{(x, f(x)) \mid x \in[0,1]\}$ 的长度为 $\displaystyle L$ ．证明 $\displaystyle L<3$ ．
北京大学 2014